Take a Risk：林岳彦の研究メモ

自らの研究に関連するエトセトラについてのメモ的ブログです。主にリスク学と統計学を扱っています。

確率概念について説明する（第3-2-2回）：「あらゆる奇跡はありふれる」問題

統計 リスク

こんにちは。林岳彦です。いくらあなたが槇原敬之の大ファンで、どんなときもどんなときも僕は僕らしくありたいと思っていても、浮気がばれたときに「もう恋なんてしないなんて〜 いわないよぜったい〜」と歌ったら殴られると思うからそれだけはやめた方がよいと思います。TPOを大切に。


さて。

前回は「到達可能性（のフレーミング）」という観点から、「可能性と確率のあいだ」について考えてみました。

今回は、「あらゆる奇跡はありふれる」という観点から、「可能性と確率のあいだ」について考えてみたいと思います。


（今回もとても長くなってしまいました。いつもながら本当にすみません。。。）

大久保のゴール：「あらゆる奇跡はありふれる」問題

では、今回のテーマである「あらゆる奇跡はありふれる」問題について見ていきましょう。

この問題は、現実の具体的なできごとの「ありえなさ」を真正面から計算していくととんでもなく低い数値になりがち、というものです。

具体的な例で考えてみましょう。

まずは、2014年の3月28日金曜日に等々力陸上競技場で行われた、Jリーグ2014年第5節の川崎フロンターレvs名古屋グランパスの試合におけるフロンターレの大久保嘉人による68分のゴールを採り上げてみます（わたくしフロンターレサポなので）*1。

こちらがそのゴールの動画となります：
2014年3月28日 川崎 VS 名古屋 68分大久保嘉人ゴール - YouTube

この最終的な大久保のゴールに至るまでは実に28本のパスが繋がっています。パスが繋がった選手を追っていくと：

田中→小林→森谷→中村→大久保→森谷→中村→田中→森谷→中村→森谷→中村→森谷→ジェシ→井川→谷口→レナト→谷口→大島→ジェシ→田中→ジェシ→大島→小林→中村→森谷→小林→中村→大久保→ゴール

となっています。

さて。では、このような「28本のパスが繋がってゴールに至る」という過程においてありうる可能世界の数を単純に計算してみましょう。

自分のチームのプレーヤーは11人ですから、最初のボールを持っているのは11人のうちの誰かになります。そして、誰かがボールを持っているときにそのパスの潜在的な受け手は10人です。つまり、1つのパスの受け手に関して10通りの可能世界があることになります。上記の最終的な大久保のゴールに至るまでには28本のパスが繋がっています。すなわちそのような10通りの可能世界の分岐（パス）が28回繰り返されていることになり、その可能世界の数は11✕(10の28乗)になります。

11✕10の28乗というと、11✕10000000000000000000000000000です。

上記の動画において私たちが見るものは、11✕10000000000000000000000000000通りの可能世界の中の一つが実現したものといえます。

嗚呼。 穣。 まさに奇跡的なゴール、というべきなのかもしれません。


さらに試合全体でのパス数について考えてみましょう。この試合全体でのフロンターレの成功したパス数は563回でした*2。この「563本のパスが成功する」という事態においてありうる可能世界の数は、同様に計算をすると「11✕(10の563乗)」になります*3。

つまり、この試合で等々力競技場の観衆が見たものは、成功したパスにおける組み合わせだけを考えても
11✕10000000000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000通り
の可能世界の中のうちの一つが実現したものといえるわけです。

全宇宙の素粒子の数が10の80乗ということらしいですので*4、「11✕(10の563乗)」というのはもはや、大沢誉志幸ならずとも途方に暮れてしまうような大きな数と言えるでしょう。

これはやはり奇跡的な試合、というべきなのかもしれません。


しかしながら、より本質的に考えてみましょう。

そもそも、「あらゆる奇跡はありふれる」 のがこの世界の性質なのかもしれません。

『あの日 あの時 あの場所で きみに会えなかったら』：奇跡、奇跡、また奇跡

「あらゆる奇跡はありふれる」のがこの世界の性質とは、どういうことでしょうか。

小田和正の『ラブストーリーは突然に』という1991年のヒット曲をヒントに考えてみたいと思います。この歌は『東京ラブストーリー』という、「また夢になるといけねえ」というサゲのセリフで有名なドラマの主題歌だったので覚えている方も多いのではないでしょうか。

この歌の有名なサビの部分のフレーズは：

あの日あの時あの場所で　きみに会えなかったら
僕等は　いつまでも　見知らぬ二人のまま

というものです。

自分の恋人と「あの日あの時あの場所で出逢えた」のは奇跡なんだ、と感じさせるステキな歌詞といえます。確かに、恋人との出会いというものは奇跡なのかもしれません。

しかし、太陽のHatsugen Komachi Angelとも言うべき本ブログのソフィストケイテッドな読者さま方におかれましては：

  • 「あの日あの時あの場所」とか言い出したら大体何のときでも当てはまるし
  • あの日あの時あの場所できみに会えなくても、別の日の別の時の別の場所で別の「きみ」に会えたんでしょうねえ
  • 数年後に「見知らぬ二人のままだったほうが良かった」ってなることもあるよね

と心の片隅で思ってしまうのかもしれません。


まあ実際に、多くの「奇跡」というものはそういうものかもしれません。

特定のケースについて事後的に取り上げれば「奇跡的な話」と思えても、全体的に眺めれば単に「ありふれた話」に過ぎないんじゃないの、いうことはよくあります。


以下では、数値的に分かりやすい例として、「誕生日のパラドックス」について見ていきます。

『今日も誰かの誕生日』：ありふれた奇跡に関する計算

キリンジに『今日も誰かの誕生日』という曲があります。これも本当にいい曲です。


ほとんど出オチのような話ですが、「ある任意の日が自分の誕生日である確率」は1/365と高くはありません*5。しかし、もっと全体的に眺めれば「今日も誰かの誕生日」なわけです。上の動画で堀込泰行が唄い上げるように、ハッピーバースデー・トゥー・エブリワン！なわけです。


では。「ある任意の日が自分の誕生日である確率」の話は単純すぎるので、次は「n人がいる部屋に同じ誕生日のペアがいる確率」について考えてみましょう。

これはいわゆる「誕生日のパラドックス」として知られている問題です（誕生日のパラドックス - Wikipedia）。

まずは手始めの前フリとして、少し単純なバージョンとして、「n人がいる部屋に自分と同じ誕生日の人がいる確率」を計算してみたいと思います。

まず、1人目の誕生日が自分と異なる確率は(364/365)です。その確率を1から引くと、1人目と誕生日が同じ確率「1-(364/365)」になります。さらに2人目の誕生日も自分と異なる確率は (364/365)X(364/365)となるなので、2人のうちのいずれかと誕生日が同じ確率は [1- (364/365)^2]になります。これをn人まで拡張していくと、「n人がいる部屋に自分と同じ誕生日の人がいる確率」の答えは：

1- (364/365)^n

になります。グラフに描くと：

f:id:takehiko-i-hayashi:20151023215114p:plain:w350

となります。この「n人がいる部屋に自分と同じ誕生日のペアがいる確率」が0.5を超えるのは、n=253のときになります*6。


では今度は、「n人がいる部屋に同じ誕生日のペアがいる確率」について考えていきましょう。

計算のやり方として、1から「n人がいる部屋で全員の誕生日が異なる確率」を引く方法で考えていきます。まず、1人目と2人目の誕生日が異なる確率は(364/365)になります。さらに3人目も異なる確率は(364/365)X(363/365)、4人目も異なる確率は(364/365)X(363/365)X(362/365)になります。これをn人まで拡張すると、その答えは (364!)/[(365^n)\times (365-n)! ]になります（Wikipediaでの説明はこちら）。これを1から引いたもの、すなわち：

1- (364!)/[(365^n)\times (365-n)!]

が「n人がいる部屋に同じ誕生日のペアがいる確率」になります。グラフに描くと：

f:id:takehiko-i-hayashi:20151023215140p:plain:w350

となります。

ここで、「n人がいる部屋に同じ誕生日のペアがいる確率」が0.5を超えるのは、n=23人のときになります。一方、「自分の誕生日と同じ人がいる確率」が0.5を超えるのはn=253人でした。「自分の誕生日と同じ」というのと「誰かの誕生日が同じ」では、起こりやすさがかなり異なることが分かるかと思います。


この「誕生日問題」が示すのは、事後的に特定の組み合わせのみを採り上げると「起こりにくそう」なことでも、そのような組み合わせが起こりうる元となる組み合わせの数の多さを考えれば、単に「ありふれうる」ということです。

このような事例は、実際の統計解析の現場においても「多重比較の罠」などの形で少なからず出会うものです。「多重比較の罠」について興味がある方は、ぜひ以下の過去記事もご参照いただければと思います：

『Happy Birthday, Mr. President』：意志と確率

もちろん、上記のような「組み合わせの数」の問題だけが、「起こりそうもないこと」がよく起こる原因というわけではありません。

たとえば、申し遅れましたが、本日（この記事の公開日）10月25日はわたくしの誕生日です。これはものすごい偶然・・・ということではもちろんありません。これは意図的に本記事の公開日をわたくしの誕生日にしたからです。

このように、人間の意志が絡むと「起こりそうにないこと」は、いともたやすく「起こりうる」ことに変化します。

ここで、誕生日ネタということで、マリリン・モンローがジョン・F・ケネディに捧げた『Happy Birthday, Mr. President』を聴いてみましょう。いろいろな意味でドキがムネムネする映像です：


マリリン・モンローがジョン・F・ケネディにお誕生日の歌を唄うなんて「あまりに奇跡的」なシーンのようにも思います。しかし、それは寧ろ、さまざまな人間の意志が絡んだ「あまりに必然的」なシーンであったのかもしれません。

ハッピーバースデー・ミスタープレジデント - Wikipedia


「人間の意志が絡むと、起こりそうにないこともたやすく起こる」ということを頭の中に留めておくことは、実務的にも重要なことです。

リスク評価の結果としては「リスクは非常に小さい」としていたことがらが、人間の意志／悪意の介在によりたやすく起きてしまうことがあります。

そんなときになって私たちは、必要だったのは実は「リスク評価」ではなく「セキュリティ評価」だった、と気づくことになるわけです。


そして、気づいたときにはもう取り返しがつかないことも多いのです。


野坂昭如が、唄うように。


『じこはおこるさ』：後知恵バイアス

ひとつひとつの事象に着目すれば起こる確率が低いものでも、それが起こりうる機会がものすごくたくさんあるのならば、それは「いつかはどこかでは起こる」のだと言えます。

例えば、この世界で1日に走っている車の数、電車の数を考えれば、「いつか・どこかで」交通事故が起きるのは必然的とも言えるでしょう。



しかし、「いつか・どこかで」事故は起きるというのは予測できても、「いつ・どこで」起きるのかを予測することは非常に難しいものです。そこには本当に非常に大きなギャップがあるのです。

そして実は、このギャップというのは、何かが実際に起きてしまった後では非常に見えにくくなるものです。人間というものは、何かが起きてしまったときは、後から「それは予想可能だった」と思いがちなのです（後知恵バイアス）。この「後知恵バイアス」は、しばしば社会の中でアンフェアな帰結を生むことがあります。


前節で、「人間の意図が絡むと、起こりそうにないこともたやすく起こる」と書きました。しかし、この逆の「起こりそうにないことが起きた時には、人間の意志（悪意、あるいは度し難い過失）が絡んでいる」というのは必ずしも正しくありません。

しかしながら、世間ではこの「起こりそうにないことが起きた時には、人間の意志（悪意、あるいは度し難い過失）が絡んでいるに違いない」という決め付けがしばしば起きてしまいます（例えば、福島県立大野病院産科医逮捕事件 - Wikipedia)。


「起こりそうにない事故が起きた時に、そのときの担当者を吊るし上げてサンドバックにする」という"解決"策は、残念ながら、日本においてはしばしば目にするものです。そして、担当者をサンドバックにするときには、上述の「後知恵バイアス」が大活躍します。

「起こりそうにないことが起きた時には、人間の意志（悪意、あるいは度し難い過失）が絡んでいる」という考え方が正しいケースもあるのだとは、思います。しかし、特に病気・感染症・天変地異などの自然現象が絡むケースでは、「なにかが起こりうる潜在的な機会は実はものすごくたくさんある」ことも多く、たまたまそこに居合わせた担当者がベストエフォートをしていたとしても防ぎきれないケースも少なくないのです。

そのような場合には、担当者個人を吊るしあげてサンドバックにすることは、本当の解決にはならないばかりか、より本質的な構造的／組織的レベルでの重大な問題が不問とされることにより、未来の犠牲者を増やすことにも繋がりかねません。

もちろんあらゆる事故が起きないのが一番ではありますが、人間の為すことに「完璧」はなく、自然の為すことはあくまで気まぐれで、私たちが暮らすこの世界ではいつだって可笑しいほどのダイスが転がされつづけているのです。

事故はいつかどこかで起きるものです。もし事故が起きたときには、その「起こりそうになかったのに起きてしまった」ことについて、冷静さとフェアネスを大切にしながら、丹念に腑分けしていく必要があるのだと思います。

「可能性」と「確率」のあいだ：極小の面積をもつ可能世界群をどう足し算するのか

・・・とここまで書いてきて、あまり「可能性と確率のあいだ」の話をしていないことに気づきました。以下では、これまでの話を踏まえつつ「可能性と確率のあいだ」について書いていきたいと思います。


結論から言うと、「可能性」として「起こりそうもないこと」を取り扱うのは、比較的に簡単かもしれません。しかし、それを「確率」として取り扱うのは必ずしも簡単ではありません。

確率というものを「（規格化された）可能世界の面積」と捉える見方を過去記事で説明してきましたが、「非常に起こりそうもないこと＝極小の面積を持つ可能世界」がものすごくたくさんある場合に、それらの面積を「どう足し合わせるうるのか」という問題は ーーー 少なくとも実務的には ーーー 非常にやっかいな問題となります。


特に、さまざまに異なる条件が積み重なって起こることがらについては、その非常に小さい"確率"の数値を決めること自体が難しくなります。さらに、どこまでの条件の重ねあわせの組み合わせまで考えるのかも難しい課題となります。

例えば、「これから100年以内にある特定の堤防Aが決壊する確率」というものを真正面から考えてみるとします。ここで、「決壊」という事象に影響を与えうる条件にはさまざまなものがあります。例えば、今後100年間で上流側のダムや堤防の管理がどうなっていくのか、人口や産業構造の変化に伴って流域の河川水の使用量がどうなっていくのか、あるいはその下支えとなる地方自治体の財政状況がどうなるのか、あるいは時空間的な降雨量が地球全体の気候変動に伴ってどう変化していくのか、などなどさまざまな「条件」があり、それらの条件の積み重ねの上での「可能性」を考える必要があります。

「これから100年以内にある特定の堤防Aが決壊する可能世界は少なくとも1つあります」というのは簡単です。しかし、その「これから100年以内にある特定の堤防Aが決壊する可能世界」が、どれだけの条件の組み合わせの数に基づく諸可能世界群のうちのどのくらいの面積を占めるのか（どのようにそれらの可能世界の面積群を足し合わせることができるのか）、そしてそもそもどこまでの条件の重ねあわせの組み合わせまで考えるべきなのか、というのは真正面から考えると途方もなく難しい問いになります。


「さまざまに異なる条件が積み重なることにより起きる」ことがらにおいて「そのような条件の積み重ねの場合の数がものすごく大きい」という場合には、「可能性」と「確率」の間に ーーー 少なくとも実務的には ーーー また一つの大きなギャップ（「可能性」を「確率」という概念の枠組みにはめ込むことが困難な状況）が広がっているわけです。

まとめ：この可能世界に／で祝杯を

はい。今回はかなり雑駁になってしまいましたが、最後に今回の内容をまとめてみます。

  • 事後的に特定の組み合わせのみを採り上げると「起こりにくそう」なことでも、そのような組み合わせが起こりうる元となる組み合わせの数の多さを考えれば、単に「ありふれうる」
  • 人間の意志が絡むと、起こりそうにないこともたやすく起こる
  • その逆の「起こりそうにないことが起きた時には、人間の意志（悪意、あるいは度し難い過失）が絡んでいる」は必ずしも正しくない
  • 後知恵バイアスで人を殴るのは止めよう
  • 「さまざまに異なる条件が積み重なることにより起きる」ことがらにおいて「そのような条件の積み重ねの場合の数がものすごく大きい」という場合には、「可能性」を「確率」という概念の枠組みにはめ込むのは難しい


さて。

今回の記事では、古今東西の名曲をお供に「あらゆる奇跡はありふれる問題」について見てきました。

そんな今回の記事の締めの曲は、ceroの『Orphans』です。


あらゆる奇跡はありふれるのだと知りつつも、この名曲のように、私たちの可能世界において 「この世界」が有る／「この世界」に在る ことの奇跡を、cerebrateしてみるのも悪くはないのかもしれません。



＃このシリーズの次回記事では、「そもそも確率は在るのか／唯<この世界>論」問題について書いていきたいと思います。

余談：オススメの参考文献

「偶然」の統計学 (ハヤカワ・ノンフィクション)

「偶然」の統計学 (ハヤカワ・ノンフィクション)

今回の記事で扱った「あらゆる奇跡はありふれる」問題についてもっと詳しく知りたい人は、ぜひこの本を読むと良いと思います。とても面白かったです。オススメっす。

多宇宙と輪廻転生―人間原理のパラドクス

多宇宙と輪廻転生―人間原理のパラドクス

「この宇宙が存在すること自体が確率的に奇跡だよね」という話を深掘りしたい人には、この本がオススメです。分析哲学的にゴリゴリとせまっていく本です。ただし「この宇宙が存在すること自体が確率的に奇跡だよね」という問題意識そのものを共有していない人が読んでも、たぶん全く何が何のことやらピンとこないかと思います。

安全という幻想: エイズ騒動から学ぶ

安全という幻想: エイズ騒動から学ぶ

後知恵バイアスで人を殴ることについて考えさせられます。個人的には、刑事裁判における行為の責任の捉え方において「counterfactualがどう構成されるべきなのか」ということについて考えさせられました*7。「科学と公共政策」「科学と法」「STS」などに関心のある人にはぜひ読んでみてほしい本です*8。


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*1:試合記録はfootball labより

*2:パス数656✕パス成功率0.858

*3:まあ連続して成功しているわけではないので本当はちょっと違う計算式であるべきではありますが

*4:参照: https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%8F%E3%83%A0%E6%95%B0

*5:めんどいので、うるう年のこととか、またそれぞれの日に誰かが生まれる確率における偏りとか、そういうのはとりあえず無視させてください

*6:参照：http://kah.s35.xrea.com/gameprob/drop.htm

*7:もし他の人が当時の血液製剤の担当者だった場合に、もっと事態は悪化していたという可能性も十分ありうるのではないか --- 少なくとも私には、実際の一連の担当者たちよりもこの案件についてより適切に対応できる自信はない

*8:あと未だに安部英医師が極悪人の類だと思っている人がいたらぜひ読んでみたほうが良い